Cours : Les Suites Arithmétiques

1. Introduction : Une Histoire de Marches d’Escalier

Imaginons que tu montes un escalier. Chaque marche fait exactement la même hauteur, disons 5 cm. Si tu pars du sol (0 cm), après une marche tu es à 5 cm, après deux marches à 10 cm, puis 15 cm, et ainsi de suite. Chaque fois, tu ajoutes la même valeur à ta hauteur précédente.

Ce principe, c’est exactement celui d’une suite arithmétique : on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé raison. La raison, c’est comme la hauteur d’une marche.

2. Définition d’une Suite Arithmétique

Une suite est une liste ordonnée de nombres. Une suite arithmétique est une suite dans laquelle on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, noté r (la raison).

Si on note la suite (un), cela signifie :

$$ u_{n+1} = u_n + r $$

Où :

• u_n est le terme de rang n (c’est le nombre à la position n dans la suite).
• r est la raison (le nombre qu’on ajoute à chaque fois).
• u₀ est le premier terme (valeur de départ).

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3. Formule Explicite

Plutôt que d’ajouter r pas à pas, on peut directement calculer n’importe quel terme avec la formule explicite :

$$ u_n = u_0 + n \times r $$

Exemple : Si u₀ = 3 et r = 2, alors :

• u1 = 3 + 1×2 = 5
• u2 = 3 + 2×2 = 7
• u3 = 3 + 3×2 = 9

Comment utiliser la formule explicite?

En d’autres mots: Comment trouver n à partir de u_n ?

Si on connaît la formule explicite :
$$ u_n = u_0 + n \times r $$

et qu’on veut trouver nnn pour une valeur donnée de unu_nun​, on suit ces étapes :

1. Remplacer u_n​, u₀​, et r par leurs valeurs.
2. Résoudre l’équation pour n.

Exemple :
Nous avons la formule explicite.
$$u_n = 3 + n \times 4$$
On cherche n sachant que u_n = 27
Donc on remplace par ce qu’on sait:
27 = 3 + 4n

Ensuite on résout comme une équation :
$$ 4n = 27 – 3 = 24 $$
$$ n = \frac{24}{4} = 6 $$

Donc, n=6

4. Formule de Récurrence

Une formule de récurrence permet de définir une suite en donnant :

• Le premier terme u₀.
• La relation pour passer d’un terme au suivant : $$ u_{n+1} = u_n + r $$

C’est la définition pas à pas de la suite.
Exemple :

• u₀ = 5
• r = 3

Alors :

$$ u_{n+1} = u_n + 3 $$

On obtient:

$$ u_1 = u_0 + 3 = 5 + 3 = 8 $$
$$ u_2 = u_1 + 3 = 8 + 3 = 11 $$

Comment calculer la formule de récurrence?

Pour calculer la formule de récurrence d’une suite arithmétique, il suffit de connaître :

• Le premier terme u₀
• La raison r

La formule de récurrence s’écrit toujours : $$u_{n+1} = u_n + r$$

Exemple :
Si u₀=7 et r=−2, alors la formule de récurrence est : u_n+1 = u_n−2

Et on peut calculer les termes un à un :
$$ u_1 = u_0 – 2 $$
$$ u_1 = 7 – 2 = 5$$
$$ u_2 = 5 – 2 = 3 $$

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5. Sens de Variation

• Si r > 0, la suite est croissante (les termes augmentent).
• Si r < 0, la suite est décroissante (les termes diminuent).
• Si r = 0, la suite est constante (tous les termes sont égaux).

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6. Exercice Simple & Correction

On considère la suite définie par : u₀ = 8 et r = 4

1. Calculer u₁, u₂ et u₃.
2. Exprimer la formule explicite de u_n.
3. Trouver le rang n pour lequel u_n = 32

7. Plus d’Exercices

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